mathématiques approfondies (ECG 1re année) · Chapitre 8 · Exercice d'entraînement

Un produit ramené à une série

Analyse asymptotique et séries · Lien suite-série · ★★★ niveau 3 (difficile)

Énoncé

Pour $n\ge 2$, on pose $p_n=\prod _{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)$. Montrer, en passant au logarithme, que $(p_n)$ converge vers une limite strictement positive. Calculer ensuite $p_n$ exactement, et retrouver la limite.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.