Un produit ramené à une série

Ce qu'on montre. Que le logarithme transforme un produit en somme, ce qui met la théorie des séries à disposition — puis on contrôle le résultat par un calcul exact.

Le logarithme est légitime. Pour $k\ge 2$, on a $0<\frac{1}{k^2}\le \frac{1}{4}$, donc $1-\frac{1}{k^2}\in \left[\frac{3}{4},1\right[$ : chaque facteur est strictement positif, donc $p_n>0$ et $$\ln p_n=\sum _{k=2}^n\ln \left(1-\frac{1}{k^2}\right).$$

La série converge absolument. Posons $w_k=\ln \left(1-\frac{1}{k^2}\right)$. Comme $-\frac{1}{k^2}\to 0$ et $\ln (1+x)\sim x$ quand $x\to 0$, on a $$w_k\sim -\frac{1}{k^2},\text{donc}|w_k|\sim \frac{1}{k^2}.$$ Les deux suites $(|w_k|)$ et $\left(\frac{1}{k^2}\right)$ sont positives et équivalentes : les séries correspondantes sont de même nature. Or $\sum \frac{1}{k^2}$ converge, donc $\sum |w_k|$ converge, donc $\sum w_k$ converge. Notons $\ell$ sa somme.

Conclusion sur le produit. La suite $(\ln p_n)$, qui est la suite des sommes partielles de $\sum w_k$, converge vers $\ell \in \mathbb{R}$. Par continuité de l'exponentielle, $$p_n={\mathrm{e}}^{\ln p_n}\underset{n\to +\infty }{\to }{\mathrm{e}}^{\ell }>0.$$ La limite est donc strictement positive : c'est là tout l'intérêt du passage au logarithme, qui interdit l'effondrement vers $0$.

Le calcul exact. Factorisons chaque terme : $$1-\frac{1}{k^2}=\frac{k^2-1}{k^2}=\frac{(k-1)(k+1)}{k^2}=\frac{k-1}{k}\cdot \frac{k+1}{k}.$$ Les deux produits télescopent séparément : $$\prod _{k=2}^n\frac{k-1}{k}=\frac{1}{n},\prod _{k=2}^n\frac{k+1}{k}=\frac{n+1}{2}.$$ Donc $$p_n=\frac{1}{n}\cdot \frac{n+1}{2}=\frac{n+1}{2n}\underset{n\to +\infty }{\to }\frac{1}{2}.$$

Les deux résultats concordent. On obtient ${\mathrm{e}}^{\ell }=\frac{1}{2}$, c'est-à-dire $\ell =-\ln 2$ : la somme de la série des logarithmes vaut $-\ln 2$. Le calcul exact confirme la stricte positivité annoncée par la première méthode.

Point délicat. Sans le contrôle de la série, on ne pourrait pas exclure $p_n\to 0$ : un produit d'une infinité de facteurs tous strictement inférieurs à $1$ peut parfaitement tendre vers $0$ — c'est le cas de ${\prod }_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k}\right)=\frac{1}{n}$.