mathématiques approfondies (ECG 1re année) · Chapitre 8 · Exercice d'entraînement

Un télescopage de carrés

Analyse asymptotique et séries · Séries : nature, somme et reste · niveau 2

Énoncé

Vérifier que, pour tout $n \geq 1$ , $\frac{2 n + 1}{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{n ^{2}} - \frac{1}{( n + 1 ) ^{2}}$ . En déduire la nature et la somme de $n \geq 1 \sum \frac{2 n + 1}{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}$ , puis un équivalent de son reste d'ordre $N$ .

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Élève

J'ai vérifié l'identité. Pour la nature, je voulais trouver un équivalent du terme général et comparer à une série de Riemann, mais ça ne me donnera pas la somme, et l'énoncé dit « en déduire ».

Ta comparaison donne bien la nature, pas la somme. Le « en déduire » invite à utiliser l'identité dans la somme partielle $S_{N}$ : que devient-elle quand tu remplaces chaque terme par la différence ?

Élève

Les termes se compensent deux à deux : il ne reste que le tout premier et le tout dernier.

Oui. Quelle est alors la limite de $S_{N}$ ? Et comment écris-tu le reste d'ordre $N$ à l'aide de cette limite et de $S_{N}$ , pour en tirer un équivalent ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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