Un télescopage de carrés

Ce qu'on montre. Qu'une décomposition transforme la somme partielle en une différence de deux termes, ce qui donne la somme exacte — et le reste avec.

L'identité. En réduisant au même dénominateur $n^2(n+1{)}^2$ : $$\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1{)}^2}=\frac{(n+1{)}^2-n^2}{n^2(n+1{)}^2}=\frac{n^2+2n+1-n^2}{n^2(n+1{)}^2}=\frac{2n+1}{n^2(n+1{)}^2}.$$ L'identité est établie pour tout $n\ge 1$.

La somme partielle. Posons $a_n=\frac{1}{n^2}$, de sorte que le terme général vaut $a_n-a_{n+1}$. La somme partielle télescope : $$S_N=\sum _{n=1}^N(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{N+1}=1-\frac{1}{(N+1{)}^2}.$$

Nature et somme. Comme $\frac{1}{(N+1{)}^2}\to 0$, la suite $(S_N)$ converge vers $1$. La série converge donc, et $$\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{2n+1}{n^2(n+1{)}^2}=1.$$

Le reste. Par définition, $R_N=S-S_N=1-\left(1-\frac{1}{(N+1{)}^2}\right)$, donc exactement $$R_N=\frac{1}{(N+1{)}^2}\sim \frac{1}{N^2}.$$ L'équivalence vient de $\frac{N^2}{(N+1{)}^2}={\left(\frac{N}{N+1}\right)}^2\to 1$.

Contrôle. Le terme général est positif et vaut $\frac{2n+1}{n^2(n+1{)}^2}\sim \frac{2n}{n^4}=\frac{2}{n^3}$ : c'est bien le terme d'une série convergente, ce qui recoupe le résultat. On note au passage que l'équivalence donnait la nature, mais pas la somme : seul le télescopage la fournit.

Point délicat. Le télescopage n'est possible que parce que le terme général s'écrit $a_n-a_{n+1}$ exactement, sans reste. Deviner $a_n$ est ici facile — le dénominateur $n^2(n+1{)}^2$ le dicte — mais c'est en général l'étape à trouver.