Une intégrale, deux chemins

Ce qu'on montre. La convergence par comparaison, puis la valeur par deux méthodes qui doivent, et vont, coïncider.

Convergence. La fonction $f:t\mapsto \frac{t}{(1+t^2{)}^2}$ est continue et positive sur $[0,+\infty [$ ; le seul problème est en $+\infty$. Pour $t\ge 1$, $$(1+t^2{)}^2\ge (t^2{)}^2=t^4⟹0\le f(t)\le \frac{t}{t^4}=\frac{1}{t^3}.$$ Or ${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^3}$ converge ($\alpha =3>1$). Par comparaison entre fonctions positives, ${\int }_1^{+\infty }f$ converge, et ${\int }_0^{1}f$ est l'intégrale d'une fonction continue sur un segment : l'intégrale converge.

Premier chemin : le changement de variable $u=t^2$. L'application $\phi :t\mapsto t^2$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ et strictement croissante sur $]0,+\infty [$, donc une bijection de $]0,+\infty [$ sur lui-même : le théorème du cours s'applique. Avec $\mathrm{d}u=2t\mathrm{d}t$, c'est-à-dire $t\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\mathrm{d}u$ : $${\int }_0^{+\infty }\frac{t\mathrm{d}t}{(1+t^2{)}^2}=\frac{1}{2}{\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}u}{(1+u{)}^2}.$$ Sur $[0,x]$, ${\int }_0^x\frac{\mathrm{d}u}{(1+u{)}^2}={\left[-\frac{1}{1+u}\right]}_0^x=1-\frac{1}{1+x}\underset{x\to +\infty }{\to }1$. Donc $${\int }_0^{+\infty }\frac{t}{(1+t^2{)}^2}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}.$$

Second chemin : la primitive directe. On reconnaît la forme $\frac{w^{\prime }}{w^2}$ avec $w(t)=1+t^2$, $w^{\prime }(t)=2t$ : $$f(t)=\frac{1}{2}\cdot \frac{w^{\prime }(t)}{w(t{)}^2},\text{donc}F(t)=-\frac{1}{2(1+t^2)}$$ est une primitive de $f$ sur $[0,+\infty [$. Alors $${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t={\left[-\frac{1}{2(1+t^2)}\right]}_0^x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(1+x^2)}\underset{x\to +\infty }{\to }\frac{1}{2}.$$

Les deux méthodes concordent, ce qui valide le calcul. La seconde établit d'ailleurs la convergence au passage, sans recourir à la comparaison — mais elle exige de reconnaître la primitive, ce qui n'est pas toujours possible.

Point délicat. Le changement de variable transforme aussi les bornes : $t=0$ donne $u=0$, et $t\to +\infty$ donne $u\to +\infty$. Ici les bornes coïncident par hasard ; ce n'est pas une raison pour ne pas les écrire.