Une intégrale par parties, à l'infini

Sur le segment $[0,x]$, en dérivant $t$ et primitivant ${\mathrm{e}}^{-t}$ :

$${\int }_0^{x}t{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=[-t{\mathrm{e}}^{-t}{]}_0^x+{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=-x{\mathrm{e}}^{-x}+(1-{\mathrm{e}}^{-x}).$$

Passage à la limite. Par croissances comparées $x{\mathrm{e}}^{-x}\to 0$, et ${\mathrm{e}}^{-x}\to 0$. Donc

$${\int }_0^{+\infty }t{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=1.$$

L'ordre des opérations compte. On intègre par parties sur un segment, où tout est licite, puis on passe à la limite. Faire l'inverse — écrire un crochet entre $0$ et $+\infty$ — revient à manipuler des quantités dont on n'a pas encore établi qu'elles ont un sens.

Une généralisation. Le même calcul répété donne ${\int }_0^{+\infty }{t}^n{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=n!$ : c'est la fonction Gamma, et l'on retrouve au passage la loi exponentielle, dont l'espérance vaut $\frac{1}{\lambda }$.