Une série télescopique de rang trois

L'identité. On réduit la différence au même dénominateur $n(n+1)(n+2)$ :

$$\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{(n+2)-n}{n(n+1)(n+2)}=\frac{2}{n(n+1)(n+2)}.$$

En divisant par $2$, on obtient l'identité annoncée.

La convergence. Le terme général est positif et équivalent à $\frac{1}{n^3}$, série de Riemann d'exposant $3>1$ : la série converge. On peut donc parler de sa somme.

Le télescopage. Posons $v_n=\frac{1}{n(n+1)}$. L'identité dit que le terme général vaut $\frac{1}{2}(v_n-v_{n+1})$, donc la somme partielle s'effondre :

$$S_N=\sum _{n=1}^N\frac{1}{2}(v_n-v_{n+1})=\frac{1}{2}(v_1-v_{N+1})=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{(N+1)(N+2)}\right).$$

Le passage à la limite. Le second terme tend vers $0$, donc

$$\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{4}.$$

Contrôle numérique : les trois premiers termes valent déjà $\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{60}\approx 0,225$, en dessous de $0,25$ comme il se doit pour une série à termes positifs.

Le point à retenir. Une somme ne se calcule presque jamais ; quand elle se calcule, c'est par télescopage ou par une série de référence. Écrire le terme général sous la forme $v_n-v_{n+1}$ est la seule chose à chercher.