Une somme comparée à une intégrale

Ce qu'on montre. Que la décroissance de $t\mapsto 1/\sqrt{t}$ permet d'encadrer chaque terme par une aire, puis que l'encadrement obtenu est assez serré pour livrer un équivalent.

L'encadrement d'un terme. La fonction $f:t\mapsto \frac{1}{\sqrt{t}}$ est continue et décroissante sur $]0,+\infty [$. Pour $k\ge 1$ et $t\in [k,k+1]$, on a $f(t)\le f(k)$, donc en intégrant sur un intervalle de longueur $1$ : $${\int }_k^{k+1}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}\le \frac{1}{\sqrt{k}}.$$ De même, pour $k\ge 2$ et $t\in [k-1,k]$, on a $f(t)\ge f(k)$, d'où $$\frac{1}{\sqrt{k}}\le {\int }_{k-1}^k\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}.$$

La sommation. En sommant la première inégalité pour $k$ de $1$ à $n$, la relation de Chasles donne $${\int }_1^{n+1}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}\le S_n.$$ En sommant la seconde pour $k$ de $2$ à $n$ et en ajoutant le terme $k=1$, qui vaut $1$ : $$S_n\le 1+{\int }_1^n\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}.$$ Or ${\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}=[2\sqrt{t}{]}_1^x=2\sqrt{x}-2$. L'encadrement s'écrit donc $$2\sqrt{n+1}-2\le S_n\le 2\sqrt{n}-1.$$

Le passage à l'équivalent. Divisons par $2\sqrt{n}>0$ : $$\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n}}\le \frac{S_n}{2\sqrt{n}}\le 1-\frac{1}{2\sqrt{n}}.$$ À gauche, $\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}=\sqrt{1+\frac{1}{n}}\to 1$ et $\frac{1}{\sqrt{n}}\to 0$ ; à droite, la quantité tend vers $1$. Le théorème d'encadrement donne $$\frac{S_n}{2\sqrt{n}}\underset{n\to +\infty }{\to }1,\text{c’est-aˋ-dire}{S}_n\sim 2\sqrt{n}.$$

Contrôle numérique. Pour $n=100$ : $2\sqrt{100}=20$, et l'encadrement donne $2\sqrt{101}-2\approx 18,10\le S_{100}\le 19$. La valeur exacte est $S_{100}\approx 18,59$, bien dans la fourchette et proche de $20$ à quelques pour cent — l'équivalent est correct, la convergence du quotient est lente.

Point délicat. Les deux sommations ne portent pas sur les mêmes indices : le terme $k=1$ doit être sorti de la majoration, puisque $f$ n'est pas intégrable jusqu'à $0$. Oublier ce détail donne un encadrement faux.