Une substitution fournie

L'intégrande est continue et positive sur $\left]0,+\infty \right[$, mais l'intégrale est impropre aux deux bornes : il faut traiter chacune.

En $0$. On a $\frac{1}{(1+t)\sqrt{t}}\sim \frac{1}{\sqrt{t}}=\frac{1}{t^{1/2}}$, et l'intégrale de référence ${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}$ converge pour $\alpha <1$. Ici $\alpha =\frac{1}{2}$ : convergence.

En $+\infty$. On a $\frac{1}{(1+t)\sqrt{t}}\sim \frac{1}{t^{3/2}}$, et ${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}$ converge pour $\alpha >1$. Ici $\alpha =\frac{3}{2}$ : convergence. Les deux inégalités sont inversées — c'est le piège du chapitre.

Le calcul. La fonction $\phi :u\mapsto u^2$ est une bijection de classe ${\mathcal{C}}^1$ strictement croissante de $\left]0,+\infty \right[$ sur lui-même, avec $\mathrm{d}t=2u\mathrm{d}u$ et $\sqrt{t}=u$. Le théorème de changement de variable donne

$${\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{(1+t)\sqrt{t}}={\int }_0^{+\infty }\frac{2u\mathrm{d}u}{(1+u^2)u}=2{\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}u}{1+u^2}.$$

On reconnaît l'arctangente : $2[\arctan u{]}_0^{+\infty }=2\times \frac{\pi }{2}=\pi$.

Le point à retenir. On établit la convergence avant de calculer : un changement de variable ne crée pas la convergence, il la transporte. Et le programme garantit que la substitution non affine sera toujours fournie par l'énoncé — on ne la cherche pas.