Une suite étudiée par la série de ses accroissements

Ce qu'on montre. Que l'étude d'une suite dont on ne connaît que les accroissements se ramène à celle d'une série — et que la méthode donne la convergence, pas la limite.

Les accroissements. Par définition de la suite, $$u_{n+1}-u_n=\frac{(-1{)}^n}{n^2},n\ge 1.$$ La proposition du cours (lien suite-série) affirme que la série $\sum (u_{n+1}-u_n)$ converge si et seulement si la suite $(u_n)$ converge. Tout revient donc à étudier $\sum _{n\ge 1}\frac{(-1{)}^n}{n^2}$.

Cette série converge. Son terme général change de signe : on passe aux valeurs absolues. $$\left|\frac{(-1{)}^n}{n^2}\right|=\frac{1}{n^2},$$ terme général d'une série de Riemann convergente ($\alpha =2>1$). La série est donc absolument convergente, donc convergente d'après le théorème du cours.

Conclusion. Par le lien suite-série, $(u_n)$ converge. Notons $\ell$ sa limite ; la même proposition donne de plus $$\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{(-1{)}^n}{n^2}=\ell -u_1=\ell -1.$$

La limite n'est pas atteinte par cette méthode. L'égalité ci-dessus exprime $\ell$ à l'aide de la somme de la série, mais aucun outil du chapitre ne calcule $\sum \frac{(-1{)}^n}{n^2}$ : les séries de référence (Riemann, géométriques et leurs dérivées, exponentielle) ne la contiennent pas. On sait donc que $\ell$ existe, sans savoir ce qu'il vaut. C'est le cas général : la convergence et la valeur sont deux questions séparées.

Contrôle grossier. L'encadrement $|\ell -u_n|=\left|{\sum }_{k\ge n}\frac{(-1{)}^k}{k^2}\right|\le {\sum }_{k\ge n}\frac{1}{k^2}\le \frac{1}{n-1}$ montre que la convergence est effective et donne même une vitesse : à partir du rang $101$, $u_n$ approche $\ell$ à $10^{-2}$ près.