Au-dessus de sa tangente, et un encadrement de e

La convexité de l'exponentielle. $\exp$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $\mathbb{R}$ et $(\exp {)}^{\prime \prime }=\exp >0$ : elle est convexe. Or une fonction convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes.

La tangente en $0$ a pour équation $y=\exp (0)+{\exp }^{\prime }(0)x=1+x$. D'où, pour tout réel $x$ :

$${\mathrm{e}}^x\ge 1+x.$$

L'inégalité demandée. Soit $n\ge 1$. On applique ce qui précède à $x=\frac{1}{n}$ :

$${\mathrm{e}}^{1/n}\ge 1+\frac{1}{n}>0.$$

Les deux membres étant positifs et $t\mapsto t^n$ croissante sur $[0,+\infty [$, on élève à la puissance $n$ sans changer le sens :

$$\mathrm{e}={\left({\mathrm{e}}^{1/n}\right)}^n\ge {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n.$$

L'autre côté, presque gratuitement. En prenant cette fois $x=-\frac{1}{n+1}$, on obtient ${\mathrm{e}}^{-1/(n+1)}\ge \frac{n}{n+1}$, donc en passant aux inverses ${\mathrm{e}}^{1/(n+1)}\le \frac{n+1}{n}$, puis en élevant à la puissance $n+1$ :

$${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\le \mathrm{e}\le {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}.$$

Le quotient des deux bornes vaut $1+\frac{1}{n}$, qui tend vers $1$ : l'encadrement prouve au passage que ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ tend vers $\mathrm{e}$.

Le point à retenir. « Au-dessus de ses tangentes » est une machine à fabriquer des inégalités : une seule tangente, bien choisie, donne une minoration valable sur tout l'intervalle. Ici la tangente en $0$ suffit à encadrer un nombre.