mathématiques approfondies (ECG 1re année) · Chapitre 9 · Exercice d'entraînement

Combien de solutions à $e^{x} = x + 2$ ?

Taylor, développements limités et convexité · Étude de graphe, asymptotes et équations · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Montrer que l'équation $e^{x} = x + 2$ admet exactement deux solutions réelles, et en donner des valeurs approchées à $1 0^{- 1}$ près.

Pour démarrer : comment l'IA t'aide

Élève

J'ai posé $h (x) = e^{x} - x - 2$ et trouvé deux changements de signe en testant quelques valeurs. Les valeurs intermédiaires me donnent au moins deux solutions, mais comment prouver qu'il n'y en a pas d'autres ?

Le théorème des valeurs intermédiaires ne donne que l'existence. Qu'est-ce qui empêche une fonction continue de s'annuler deux fois sur un intervalle ? Étudie $h^{'}$ : sur quels intervalles $h$ est-elle strictement monotone ?

Élève

$h^{'} (x) = e^{x} - 1$ ne s'annule qu'en $0$ : $h$ est strictement décroissante avant et strictement croissante après.

Bien. Que vaut $h$ en ce point, et quelles sont ses limites en $- \infty$ et en $+ \infty$ ? Comment conclus-tu alors sur chacun des deux intervalles ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

Continue cet exercice avec l'IA

Reprends l'exercice là où le dialogue s'arrête.

Continuer avec l'IA — gratuit, sans inscription

Gratuit, sans inscription. L'IA te guide pas à pas, sans te donner la réponse.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Continuer avec l'IA, gratuit →

Combien de solutions à ex=x+2 ?

Énoncé

Pour démarrer : comment l'IA t'aide

Combien de solutions à $e^{x} = x + 2$ ?