Combien de solutions à $e^x=x+2$ ?

Ce qu'on montre. Que la convexité localise le minimum sans discussion, et que le théorème des valeurs intermédiaires, appliqué sur chaque intervalle de stricte monotonie, compte les solutions exactement.

La fonction auxiliaire. Posons $h(x)={\mathrm{e}}^x-x-2$ sur $\mathbb{R}$ : les solutions de l'équation sont exactement les zéros de $h$. La fonction $h$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$, avec $$h^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x-1,h^{\prime \prime }(x)={\mathrm{e}}^x>0.$$

Le minimum global. $h^{\prime \prime }>0$ sur l'intervalle ouvert $\mathbb{R}$, donc $h$ est convexe. De plus $h^{\prime }(x)=0⟺{\mathrm{e}}^x=1⟺x=0$. Le théorème du cours (convexité et minimum global) affirme alors que $h$ atteint en $0$ un minimum global, et $$h(0)=1-0-2=-1<0.$$ La valeur minimale étant strictement négative, $h$ prend des valeurs négatives ; reste à voir combien de fois elle traverse $0$.

Les limites. Quand $x\to +\infty$, les croissances comparées donnent ${\mathrm{e}}^x-x-2\to +\infty$. Quand $x\to -\infty$, ${\mathrm{e}}^x\to 0$ et $-x-2\to +\infty$, donc $h(x)\to +\infty$.

Le décompte. Le signe de $h^{\prime }$ est celui de ${\mathrm{e}}^x-1$ : négatif sur $]-\infty ,0[$, positif sur $]0,+\infty [$.

• Sur $]-\infty ,0]$, $h$ est continue et strictement décroissante, de limite $+\infty$ en $-\infty$ et de valeur $h(0)=-1$. Le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à une fonction strictement monotone donne l'existence d'une unique solution $\alpha$ de $h(x)=0$ dans cet intervalle.
• Sur $[0,+\infty [$, $h$ est continue et strictement croissante, de $h(0)=-1$ à $+\infty$ : il existe une unique solution $\beta$.

Ces deux intervalles recouvrent $\mathbb{R}$ et ne se chevauchent qu'en $0$, où $h(0)\ne 0$. L'équation admet donc exactement deux solutions.

Valeurs approchées. $$h(-1,9)={\mathrm{e}}^{-1,9}-0,1\approx 0,1496-0,1=0,0496>0,h(-1,8)\approx 0,1653-0,2=-0,0347<0,$$ donc $\alpha \in ]-1,9;-1,8[$, soit $\alpha \approx -1,8$. $$h(1,1)\approx 3,004-3,1=-0,096<0,h(1,2)\approx 3,320-3,2=0,120>0,$$ donc $\beta \in ]1,1;1,2[$, soit $\beta \approx 1,1$.

Point délicat. Le théorème des valeurs intermédiaires seul donnerait l'existence, pas l'unicité. C'est la stricte monotonie qui interdit une seconde traversée, et permet d'écrire « exactement deux ».