Convexe, concave, ou ni l'un ni l'autre

Ce qu'on montre. L'emploi direct de la caractérisation par le signe de la dérivée seconde, et le fait qu'une fonction peut n'être ni convexe ni concave sur un intervalle.

Première fonction. $f(x)=x^2$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $\mathbb{R}$, $f^{\prime }(x)=2x$ et $f^{\prime \prime }(x)=2>0$. D'après le cours, $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

Deuxième fonction. $g(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $]0,+\infty [$ : $$g^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},g^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{4}{x}^{-3/2}=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}<0.$$ Donc $g$ est concave sur $]0,+\infty [$. Sa courbe est au-dessous de ses tangentes et au-dessus de ses cordes.

Troisième fonction. $h(x)=x^3$ vérifie $h^{\prime }(x)=3x^2$ et $h^{\prime \prime }(x)=6x$. Le signe de $h^{\prime \prime }$ change en $0$ :

• $h^{\prime \prime }<0$ sur $]-\infty ,0[$ : $h$ est concave sur $]-\infty ,0]$ ;
• $h^{\prime \prime }>0$ sur $]0,+\infty [$ : $h$ est convexe sur $[0,+\infty [$.

Sur $\mathbb{R}$ tout entier, $h$ n'est donc ni convexe ni concave. Le point $0$, où $h^{\prime \prime }$ s'annule en changeant de signe, est un point d'inflexion.

Point délicat. La convexité est une propriété relative à un intervalle. Dire « $x^3$ n'est pas convexe » sans préciser où est une affirmation incomplète : elle l'est parfaitement sur $[0,+\infty [$.