Convexité de $x\ln x$

Pour $f(x)=x\ln x$ sur $]0,+\infty [$ :

$$f^{\prime }(x)=\ln x+1,f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{x}>0.$$

$f$ est donc strictement convexe sur tout l'intervalle.

Conséquences. $f^{\prime }$ est croissante ; la courbe reste au-dessus de chacune de ses tangentes et sous chacune de ses cordes. Le minimum est en $\ln x=-1$, soit $x={\mathrm{e}}^{-1}$, où $f=-{\mathrm{e}}^{-1}$.

Aucun point d'inflexion : $f^{\prime \prime }$ ne s'annule jamais.

Une application. La convexité donne, pour $x_i>0$ de somme $S$ : $\sum x_i\ln x_i\ge S\ln \frac{S}{n}$. C'est l'inégalité qui fonde la notion d'entropie — le désordre est maximal quand tout est équiréparti.