Deux équivalents lus sur un développement limité

Ce qu'on montre. Que le premier terme non nul d'un développement limité en donne un équivalent, et que les équivalents se divisent — contrairement aux sommes.

Premier équivalent. Le développement usuel donne $${\mathrm{e}}^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2),\text{donc}{\mathrm{e}}^x-1-x=\frac{x^2}{2}+o(x^2).$$ En divisant par $\frac{x^2}{2}$, pour $x\ne 0$ au voisinage de $0$ : $$\frac{{\mathrm{e}}^x-1-x}{x^2/2}=1+\frac{o(x^2)}{x^2/2}=1+o(1)\underset{x\to 0}{\to }1.$$ C'est la définition de l'équivalence : ${\mathrm{e}}^x-1-x\sim \frac{x^2}{2}$.

Second équivalent. De même, $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)$, donc $$x-\sin x=\frac{x^3}{6}+o(x^4),$$ et le même quotient tend vers $1$ : $x-\sin x\sim \frac{x^3}{6}$.

La limite du quotient. Les équivalents se transportent par quotient (proposition de compatibilité), et les deux dénominateurs ne s'annulent pas au voisinage épointé de $0$ : $$\frac{x-\sin x}{{\mathrm{e}}^x-1-x}\sim \frac{x^3/6}{x^2/2}=\frac{2x^3}{6x^2}=\frac{x}{3}\underset{x\to 0}{\to }0.$$ Une quantité équivalente à une suite de limite $0$ tend vers $0$, donc $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x}{{\mathrm{e}}^x-1-x}=0.$$

Contrôle numérique. Pour $x=0,1$ : numérateur $0,1-0,0998334=1,666\cdot 10^{-4}$, dénominateur ${\mathrm{e}}^{0,1}-1,1=5,171\cdot 10^{-3}$, quotient $0,0322$ — proche de $\frac{0,1}{3}=0,0333$.

Point délicat. Il fallait retrancher $1$ et $x$ à l'exponentielle avant de chercher un équivalent : ${\mathrm{e}}^x-1-x$ n'est pas équivalent à ${\mathrm{e}}^x$, ni à $-1-x$. C'est le développement qui révèle le premier terme survivant, et lui seul.