Deux limites classiques

Ce qu'on montre. Que deux formes indéterminées $\frac{0}{0}$ se lèvent en une ligne dès qu'on écrit le développement usuel à l'ordre du dénominateur.

Première limite. Le cours donne $\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ (on tronque le développement fourni, dont l'ordre est plus élevé). Donc $$1-\cos x=\frac{x^2}{2}+o(x^2),$$ et pour $x\ne 0$ $$\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}+\frac{o(x^2)}{x^2}=\frac{1}{2}+o(1)\underset{x\to 0}{\to }\frac{1}{2}.$$

Seconde limite. Le développement de $(1+x{)}^{\alpha }$ avec $\alpha =\frac{1}{2}$ donne, à l'ordre $1$ : $$\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x+o(x).$$ Donc $$\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{\frac{1}{2}x+o(x)}{x}=\frac{1}{2}+o(1)\underset{x\to 0}{\to }\frac{1}{2}.$$

Contrôle numérique. Pour $x=0,01$ : $\frac{1-\cos (0,01)}{10^{-4}}\approx 0,49999$ et $\frac{\sqrt{1,01}-1}{0,01}\approx 0,49876$. Les deux valent bien $\frac{1}{2}$ à peu de chose près.

Remarque. La seconde limite n'est autre que le nombre dérivé en $0$ de $x\mapsto \sqrt{1+x}$, ce qui la confirme : cette dérivée vaut $\frac{1}{2\sqrt{1+x}}$, soit $\frac{1}{2}$ en $0$. Le développement limité à l'ordre $1$ est l'équation de la tangente.