Direction asymptotique, avec ou sans asymptote

Ce qu'on montre. Que la première limite donne la direction, mais que seule la seconde décide de l'existence d'une asymptote — et qu'une direction asymptotique n'entraîne pas une asymptote.

Le critère du cours. La droite $y=ax+b$ est asymptote à ${\mathcal{C}}_h$ en $+\infty$ lorsque $h(x)-(ax+b)\to 0$. On détermine d'abord $a=\lim \frac{h(x)}{x}$, puis $b=\lim (h(x)-ax)$ — à condition que cette seconde limite soit finie.

Cas de $f(x)=x+\sqrt{x}$. $$\frac{f(x)}{x}=1+\frac{\sqrt{x}}{x}=1+\frac{1}{\sqrt{x}}\underset{x\to +\infty }{\to }1,$$ donc la direction asymptotique est celle de la droite de pente $a=1$. Mais $$f(x)-x=\sqrt{x}\underset{x\to +\infty }{\to }+\infty .$$ La seconde limite est infinie : il n'existe aucun réel $b$ tel que $f(x)-(x+b)\to 0$. La courbe n'a pas d'asymptote en $+\infty$ ; elle présente une branche parabolique de direction $y=x$ : elle s'éloigne indéfiniment de toute droite de pente $1$, tout en devenant de plus en plus parallèle à elle.

Cas de $g(x)=\frac{x^2+1}{x}$. Écrivons d'abord $g(x)=x+\frac{1}{x}$. Alors $$\frac{g(x)}{x}=1+\frac{1}{x^2}\underset{x\to +\infty }{\to }1,g(x)-x=\frac{1}{x}\underset{x\to +\infty }{\to }0.$$ La seconde limite est finie et vaut $b=0$ : la droite $y=x$ est asymptote à ${\mathcal{C}}_g$ en $+\infty$.

La position pour $g$. $g(x)-x=\frac{1}{x}>0$ sur $]0,+\infty [$ : la courbe est au-dessus de son asymptote, et s'en rapproche sans jamais la toucher.

Contrôle numérique. En $x=100$ : $f(100)-100=10$, très loin de $0$ ; $g(100)-100=0,01$, presque nul. En $x=10^4$ : $100$ contre $10^{-4}$. L'écart de comportement est net.

Point délicat. Les deux fonctions ont la même limite $1$ pour $\frac{h(x)}{x}$ : cette première étape ne distingue rien. Conclure « asymptote $y=x$ » dès qu'on a trouvé $a=1$ est l'erreur classique — c'est la seconde limite, et elle seule, qui tranche.