L'inégalité arithmético-géométrique

La fonction $-\ln$ est convexe sur $]0,+\infty [$ : sa dérivée seconde vaut $\frac{1}{x^2}>0$.

L'inégalité de convexité généralisée s'écrit, pour des poids $t_i\ge 0$ de somme $1$ :

$$\phi \left(\sum _{i=1}^n{t}_i{x}_i\right)\le \sum _{i=1}^n{t}_i\phi (x_i).$$

Appliquons-la à $\phi =-\ln$ avec les poids uniformes $t_i=\frac{1}{n}$ :

$$-\ln \left(\frac{x_1+\cdots +x_n}{n}\right)\le -\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\ln x_i=-\frac{1}{n}\ln (x_1\cdots x_n).$$

On multiplie par $-1$, ce qui renverse le sens :

$$\ln \left(\frac{x_1+\cdots +x_n}{n}\right)\ge \ln \left((x_1\cdots x_n{)}^{1/n}\right).$$

Enfin, $\exp$ étant croissante, elle conserve l'inégalité :

$$\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\le \frac{x_1+\cdots +x_n}{n}.$$

Le cas d'égalité. La convexité de $-\ln$ étant stricte, l'égalité n'a lieu que si tous les $x_i$ sont égaux.

Une conséquence. À somme fixée, le produit est maximal quand tous les facteurs sont égaux — c'est pourquoi, à périmètre donné, le rectangle d'aire maximale est le carré. Pour $n=2$, l'inégalité se réduit à $(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}{)}^2\ge 0$.