La boîte de volume maximal

Ce qu'on montre. Que sur un intervalle ouvert, un extremum ne peut se trouver qu'en un point où la dérivée s'annule, et qu'il faut ensuite prouver que c'en est bien un — le tableau de variations le fait.

La fonction est dérivable. $V$ est polynomiale, donc de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $]0,5[$. Dérivons en traitant $(10-2x{)}^2$ comme un produit : $$V^{\prime }(x)=(10-2x{)}^2+x\times 2(10-2x)\times (-2)=(10-2x)[(10-2x)-4x]=(10-2x)(10-6x).$$

Le signe de $V^{\prime }$. Sur $]0,5[$, on a $10-2x>0$ ; le signe de $V^{\prime }$ est donc celui de $10-6x$ : $$V^{\prime }(x)>0\text{ si }x<\frac{5}{3},V^{\prime }\left(\frac{5}{3}\right)=0,V^{\prime }(x)<0\text{ si }x>\frac{5}{3}.$$ $V$ est donc strictement croissante sur $\left]0,\frac{5}{3}\right]$ et strictement décroissante sur $\left[\frac{5}{3},5\right[$.

Le maximum. Le tableau de variations montre que $V$ atteint en $x_0=\frac{5}{3}$ un maximum global sur $]0,5[$ — et il est strict. Sa valeur : $$V\left(\frac{5}{3}\right)=\frac{5}{3}{\left(10-\frac{10}{3}\right)}^2=\frac{5}{3}{\left(\frac{20}{3}\right)}^2=\frac{5}{3}\cdot \frac{400}{9}=\frac{2000}{27}\approx 74,07.$$

Contrôle. $V(1)=1\times 64=64$ et $V(2)=2\times 36=72$ : les deux sont bien inférieurs à $74,07$, et le maximum $\frac{5}{3}\approx 1,67$ est entre les deux, ce qui est cohérent.

Point délicat. L'intervalle est ouvert : le théorème « toute fonction continue sur un segment atteint ses bornes » ne s'applique pas, et l'existence d'un maximum n'est pas acquise d'avance. C'est le tableau de variations — donc l'étude du signe de $V^{\prime }$ sur tout l'intervalle — qui l'établit. Aux bords, $V(x)\to 0$ quand $x\to 0^{+}$ ou $x\to 5^{-}$ : la boîte dégénère, ce qui confirme que le maximum est intérieur.