La dérivée $n$-ième d'une fraction, puis d'une somme de deux

Ce qu'on montre. Une récurrence sur la dérivée $n$-ième, puis l'emploi de la linéarité de la dérivation après avoir décomposé $g$ en somme de deux fractions du premier type.

La récurrence. Initialisation. Pour $n=0$, $f^{(0)}=f$ et $\frac{0!}{(1-x{)}^1}=\frac{1}{1-x}=f(x)$ : la formule est vraie.

Hérédité. Supposons $f^{(n)}(x)=\frac{n!}{(1-x{)}^{n+1}}$ pour un certain $n\ge 0$, sur $]-1,1[$. En dérivant $x\mapsto n!(1-x{)}^{-(n+1)}$, dont la dérivée intérieure est $-1$ : $$f^{(n+1)}(x)=n!\times (-(n+1))(1-x{)}^{-(n+2)}\times (-1)=\frac{(n+1)!}{(1-x{)}^{n+2}}.$$ C'est la formule au rang $n+1$. Par récurrence, elle vaut pour tout $n\in \mathbb{N}$.

La décomposition de $g$. Pour $x\in ]-1,1[$, on a $1-x^2=(1-x)(1+x)$ et $$\frac{1}{(1-x)(1+x)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}\right),$$ identité qu'on vérifie en réduisant au même dénominateur : $\frac{(1+x)+(1-x)}{2(1-x)(1+x)}=\frac{2}{2(1-x^2)}$.

La dérivée $n$-ième du second morceau. Posons $h(x)=\frac{1}{1+x}$. La même récurrence, avec cette fois une dérivée intérieure égale à $+1$, donne $$h^{(n)}(x)=\frac{(-1{)}^{n}n!}{(1+x{)}^{n+1}}.$$ Vérification au rang $1$ : $h^{\prime }(x)=-\frac{1}{(1+x{)}^2}$, conforme avec $n=1$.

Conclusion. La dérivation étant linéaire, on dérive $n$ fois chaque terme : $$g^{(n)}(x)=\frac{n!}{2}\left(\frac{1}{(1-x{)}^{n+1}}+\frac{(-1{)}^n}{(1+x{)}^{n+1}}\right).$$

Contrôle en $0$. La formule donne $g^{(n)}(0)=\frac{n!}{2}(1+(-1{)}^n)$, c'est-à-dire $n!$ si $n$ est pair et $0$ si $n$ est impair. C'est cohérent : $g$ est une fonction paire, et l'on verra que les coefficients d'indice impair d'une fonction paire sont nuls.

Point délicat. Les deux récurrences diffèrent par le signe de la dérivée intérieure : c'est lui qui produit le facteur $(-1{)}^n$ dans la seconde et son absence dans la première. Les traiter d'un seul geste est l'erreur à éviter.