La formule de Leibniz

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 9 — Taylor, développements limités et convexité · Dérivées successives et formules de Taylor

Énoncé

Calculer $(x^{2} e^{x})^{(n)}$ par la formule de Leibniz.

Corrigé

La formule de Leibniz donne

$(uv)^{(n)} = k = 0 \sum n (k n) u^{(k)} v^{(n - k)} .$

Prenons $u = x^{2}$ et $v = e^{x}$ . Les dérivées de $u$ sont $u = x^{2}$ , $u^{'} = 2 x$ , $u^{''} = 2$ , et toutes les suivantes sont nulles : la somme s'arrête à $k = 2$ . Celles de $v$ valent toujours $e^{x}$ .

$(x^{2} e^{x})^{(n)} = (0 n) x^{2} e^{x} + (1 n) (2 x) e^{x} + (2 n) (2) e^{x} = e^{x} (x^{2} + 2 n x + n (n - 1)) .$

(Valable pour $n \geq 2$ ; pour $n = 0$ et $n = 1$ , la formule reste juste car $(2 n) = 0$ et $(1 1) \times 2 x$ donne bien le bon terme.)

Vérification pour $n = 1$ : la formule donne $e^{x} (x^{2} + 2 x)$ , et la dérivée directe de $x^{2} e^{x}$ vaut $2 x e^{x} + x^{2} e^{x}$ . Identiques.

Le bon réflexe : choisir comme premier facteur celui dont les dérivées s'éteignent. Ici $x^{2}$ tue la somme après trois termes ; l'ordre inverse laisserait $n + 1$ termes tous non nuls.

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