La formule de Leibniz

La formule de Leibniz donne

$$(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})u^{(k)}{v}^{(n-k)}.$$

Prenons $u=x^2$ et $v={\mathrm{e}}^x$. Les dérivées de $u$ sont $u=x^2$, $u^{\prime }=2x$, $u^{\prime \prime }=2$, et toutes les suivantes sont nulles : la somme s'arrête à $k=2$. Celles de $v$ valent toujours ${\mathrm{e}}^x$.

$$(x^2{\mathrm{e}}^x{)}^{(n)}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})x^2{\mathrm{e}}^x+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})(2x){\mathrm{e}}^x+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})(2){\mathrm{e}}^x={\mathrm{e}}^x(x^2+2nx+n(n-1)).$$

(Valable pour $n\ge 2$ ; pour $n=0$ et $n=1$, la formule reste juste car $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=0$ et $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}\right)\times 2x$ donne bien le bon terme.)

Vérification pour $n=1$ : la formule donne ${\mathrm{e}}^x(x^2+2x)$, et la dérivée directe de $x^2{\mathrm{e}}^x$ vaut $2x{\mathrm{e}}^x+x^2{\mathrm{e}}^x$. Identiques.

Le bon réflexe : choisir comme premier facteur celui dont les dérivées s'éteignent. Ici $x^2$ tue la somme après trois termes ; l'ordre inverse laisserait $n+1$ termes tous non nuls.