mathématiques approfondies (ECG 1re année) · Chapitre 9 · Exercice d'entraînement

La moyenne des carrés dépasse le carré de la moyenne

Taylor, développements limités et convexité · Extremums et convexité · ★★ niveau 2

Énoncé

Soient $x_1,\dots ,x_n$ des réels. En appliquant l'inégalité de convexité généralisée à une fonction bien choisie, montrer que $${\left(\frac{x_1+\cdots +x_n}{n}\right)}^2\le \frac{x_1^2+\cdots +x_n^2}{n}.$$

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.