La moyenne des carrés dépasse le carré de la moyenne

Ce qu'on montre. Que l'inégalité de convexité généralisée, appliquée à $t\mapsto t^2$ avec des poids tous égaux, donne d'un trait une inégalité classique.

La fonction et sa convexité. Posons $\phi (t)=t^2$ sur $\mathbb{R}$. Elle est de classe ${\mathcal{C}}^2$ et ${\phi }^{\prime \prime }(t)=2>0$, donc $\phi$ est convexe sur $\mathbb{R}$ d'après la caractérisation du cours.

Le choix des poids. Prenons $t_1=\cdots =t_n=\frac{1}{n}$. Ces réels sont positifs et leur somme vaut $n\times \frac{1}{n}=1$ : les hypothèses de l'inégalité de convexité généralisée sont réunies.

L'application du théorème. Le cours affirme, pour $\phi$ convexe : $$\phi \left(\sum _{i=1}^n{t}_i{x}_i\right)\le \sum _{i=1}^n{t}_i\phi (x_i).$$ Ici $\sum _{i=1}^n{t}_i{x}_i=\frac{x_1+\cdots +x_n}{n}$ et $\sum _{i=1}^n{t}_i\phi (x_i)=\frac{x_1^2+\cdots +x_n^2}{n}$, d'où $${\left(\frac{x_1+\cdots +x_n}{n}\right)}^2\le \frac{x_1^2+\cdots +x_n^2}{n},$$ qui est l'inégalité demandée.

Lecture. En notant $m$ la moyenne des $x_i$ et $q$ la racine carrée de la moyenne de leurs carrés (leur « moyenne quadratique »), l'inégalité s'écrit $m^2\le q^2$, donc $|m|\le q$ : la moyenne quadratique domine la valeur absolue de la moyenne arithmétique.

Contrôle numérique. Prenons $n=3$ et $(x_1,x_2,x_3)=(1,2,6)$. La moyenne vaut $3$, son carré $9$ ; la moyenne des carrés vaut $\frac{1+4+36}{3}=\frac{41}{3}\approx 13,67$. On a bien $9\le 13,67$.

Le cas d'égalité. Si tous les $x_i$ sont égaux à une même valeur $a$, les deux membres valent $a^2$ : l'inégalité est une égalité. Plus les valeurs sont dispersées, plus l'écart se creuse — l'écart entre les deux membres n'est autre que la variance de la série des $x_i$.