Les extremums sur un segment

L'existence est acquise avant tout calcul. $f$ est continue sur le segment $[0,3]$ : elle y atteint un maximum et un minimum globaux. Reste à les localiser.

Les points critiques. $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ ne s'annule sur $[0,3]$ qu'en $x=1$. Le signe de $f^{\prime }$ montre $f$ décroissante sur $[0,1]$, croissante sur $[1,3]$.

Trois candidats seulement : le point critique et les deux bornes.

$$f(0)=0,f(1)=-2,f(3)=18.$$

Le minimum global vaut $-2$, atteint en $1$ ; le maximum global vaut $18$, atteint en $3$.

Le point délicat. En $3$, la dérivée vaut $f^{\prime }(3)=24\ne 0$ : le maximum n'est pas un point critique. La condition « $f^{\prime }(x_0)=0$ » n'est nécessaire que sur un intervalle ouvert ; à la borne d'un segment elle tombe en défaut. Résoudre $f^{\prime }=0$ et s'arrêter là aurait fait manquer le maximum.

Sur $]0,3[$, le minimum $-2$ subsiste, atteint en $1$ qui est intérieur. Le maximum, lui, disparaît : $f$ y est majorée par $18$ sans jamais atteindre cette valeur. La borne supérieure existe, le maximum non.

Le point à retenir. Sur un segment, la recherche est en trois temps — points critiques, bornes, comparaison des valeurs. Sur un ouvert, il n'y a plus de bornes à examiner, mais plus aucune garantie d'existence non plus : ce sont deux problèmes différents.