Lire une tangente sur un développement

Ce qu'on montre. Que les deux premiers coefficients d'un développement donnent la tangente, et que le premier coefficient suivant non nul en donne la position — c'est le théorème d'allure locale du cours.

Les deux premiers coefficients. D'après Taylor-Young, le développement s'écrit $$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2}{x}^2+o(x^2).$$ Par unicité du développement limité, on identifie : $$f(0)=2,f^{\prime }(0)=-3,\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2}=5\text{ donc }{f}^{\prime \prime }(0)=10.$$

La tangente. Elle a pour équation $y=f(0)+f^{\prime }(0)x$, soit $$y=2-3x.$$

La position. Le théorème d'allure locale dit que la position se lit sur le premier terme non linéaire, ici $a_k{x}^k$ avec $k=2$ et $a_2=5$. Concrètement, $$f(x)-(2-3x)=5x^2+o(x^2),$$ quantité équivalente à $5x^2$ au voisinage de $0$, donc strictement positive pour $x$ assez petit et non nul, des deux côtés.

Conclusion. L'exposant $k=2$ est pair et $a_2=5>0$ : la courbe reste au-dessus de sa tangente au voisinage de $0$. Il ne s'agit donc pas d'un point d'inflexion.

Remarque. Si le coefficient de $x^2$ avait été nul et celui de $x^3$ non nul, l'exposant aurait été impair et la courbe aurait traversé sa tangente : c'est la parité de $k$, et elle seule, qui décide.