Position par rapport à la tangente

Pour $f=\sin$. Le développement en $0$ est

$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4).$$

La tangente en $0$ est $y=x$ (terme d'ordre $\le 1$), et le premier terme non linéaire est $-\frac{x^3}{6}$ : ici $k=3$, impair. La courbe traverse donc sa tangente : $0$ est un point d'inflexion. Concrètement, $\sin x\le x$ pour $x\ge 0$ et $\sin x\ge x$ pour $x\le 0$.

Pour $f=1-\cos$. Le développement est

$$1-\cos x=\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}+o(x^5).$$

La tangente en $0$ est $y=0$ (l'axe des abscisses), et le premier terme non linéaire est $\frac{x^2}{2}$ : $k=2$, pair, de coefficient positif. La courbe reste donc au-dessus de sa tangente des deux côtés — ce qui traduit simplement $\cos x\le 1$.

La règle : tout se joue sur la parité de $k$, l'exposant du premier terme non linéaire. Pair, la courbe reste du même côté (au-dessus si le coefficient est positif) ; impair, elle traverse. Le signe du coefficient ne sert qu'à choisir le côté, jamais à décider s'il y a traversée.