Somme et différence de développements

Ce qu'on montre. Que les développements s'additionnent terme à terme, comme l'autorise la proposition du cours, et qu'il faut lire ce que devient chaque coefficient.

Les deux développements usuels à l'ordre $3$. $${\mathrm{e}}^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3),\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3).$$

La somme. On additionne les coefficients de même degré :

• degré $0$ : $1+0=1$ ;
• degré $1$ : $1+1=2$ ;
• degré $2$ : $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$ ;
• degré $3$ : $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$.

$${\mathrm{e}}^x+\ln (1+x)=1+2x+\frac{x^3}{2}+o(x^3).$$ Le terme en $x^2$ disparaît : c'est une annulation exacte entre les deux développements, qu'aucune approximation grossière n'aurait révélée.

La différence. Retrancher les constantes $1$ et $x$ revient à supprimer les deux premiers termes : $${\mathrm{e}}^x-1-x=\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3).$$

Contrôle numérique. Pour $x=0,1$ : la seconde formule prédit $0,005+0,000167=5,167\cdot 10^{-3}$, et la valeur exacte est ${\mathrm{e}}^{0,1}-1,1\approx 5,171\cdot 10^{-3}$. L'accord est excellent.

Point délicat. Un développement à l'ordre $3$ de la somme exige les deux développements à l'ordre $3$ : on ne peut pas en tronquer un plus tôt, sous peine de perdre un coefficient — ici le coefficient de $x^3$, qui est justement le premier non nul de la somme au-delà du degré $1$.