Taylor-Lagrange, et l'écart réel

On applique l'inégalité de Taylor-Lagrange à $f=\exp$ en $a=0$, à l'ordre $n=2$ :

$$\left|{\mathrm{e}}^x-\left(1+x+\frac{x^2}{2}\right)\right|\le M\frac{|x{|}^3}{3!},M=\underset{[0,x]}{\max }\left|f^{(3)}\right|.$$

Ici $f^{(3)}=\exp$, croissante, donc $M={\mathrm{e}}^{0,1}\approx 1,1052$ sur $[0;0,1]$.

Le majorant :

$$1,1052\times \frac{(0,1{)}^3}{6}=1,1052\times \frac{10^{-3}}{6}\approx 1,842\times 10^{-4}.$$

L'écart réel : ${\mathrm{e}}^{0,1}=1,10517092$ et $1+0,1+0,005=1,105$, d'où un écart de $1,709\times 10^{-4}$.

Le majorant est donc respecté, et serré : il dépasse l'écart réel de $8\%$ seulement. C'est normal — sur un intervalle aussi court, $f^{(3)}$ varie peu, et le majorant $M$ est presque atteint.

Ce que Taylor-Lagrange apporte de plus que Taylor-Young : un nombre. Young dit que l'erreur est un $o(x^2)$, ce qui ne permet aucun calcul ; Lagrange la majore, donc autorise à garantir une précision — c'est ce qui en fait l'outil du calcul numérique.