mathématiques approfondies (ECG 1re année) · Chapitre 9 · Exercice d'entraînement

Taylor-Lagrange sur le logarithme, et le prix d'une approximation

Taylor, développements limités et convexité · Dérivées successives et formules de Taylor · ★★★ niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $f(x)=\ln (1+x)$. Établir, pour tout $x\in [0,1]$ et tout $n\ge 1$, $$\left|\ln (1+x)-\sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}{x}^k\right|\le \frac{x^{n+1}}{n+1}.$$ Combien de termes faut-il pour approcher $\ln 2$ à $10^{-2}$ près ? Commenter.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.