Taylor-Lagrange sur le logarithme, et le prix d'une approximation

Ce qu'on montre. Que l'inégalité de Taylor-Lagrange fournit la majoration demandée, une fois les dérivées successives calculées et majorées sur le bon intervalle.

Les dérivées successives. Pour $t>-1$ et $k\ge 1$, une récurrence immédiate donne $$f^{(k)}(t)=\frac{(-1{)}^{k-1}(k-1)!}{(1+t{)}^k}.$$ Initialisation : $f^{\prime }(t)=\frac{1}{1+t}$, conforme pour $k=1$. Hérédité : en dérivant $(-1{)}^{k-1}(k-1)!(1+t{)}^{-k}$, on obtient $(-1{)}^{k-1}(k-1)!\times (-k)(1+t{)}^{-k-1}=\frac{(-1{)}^{k}k!}{(1+t{)}^{k+1}}$, formule au rang $k+1$.

En particulier $f(0)=0$ et, pour $k\ge 1$, $$\frac{f^{(k)}(0)}{k!}=\frac{(-1{)}^{k-1}(k-1)!}{k!}=\frac{(-1{)}^{k-1}}{k},$$ ce qui identifie la somme de l'énoncé au polynôme de Taylor de $f$ à l'ordre $n$ en $0$.

La majoration de la dérivée d'ordre $n+1$. Pour $t\in [0,x]\subset [0,1]$, on a $1+t\ge 1$, donc $$|f^{(n+1)}(t)|=\frac{n!}{(1+t{)}^{n+1}}\le n!=:M.$$

L'inégalité de Taylor-Lagrange. Le théorème du cours donne alors $$\left|f(x)-\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}{x}^k\right|\le M\frac{|x-0{|}^{n+1}}{(n+1)!}=n!\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{x^{n+1}}{n+1},$$ ce qui est exactement l'inégalité demandée, le terme $k=0$ de la somme étant nul.

Le nombre de termes pour $\ln 2$. On prend $x=1$, où l'inégalité devient $$\left|\ln 2-\sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}\right|\le \frac{1}{n+1}.$$ Pour garantir une erreur inférieure à $10^{-2}$, il suffit que $\frac{1}{n+1}\le 10^{-2}$, c'est-à-dire $n\ge 99$. Quatre-vingt-dix-neuf termes suffisent.

Contrôle sur un petit rang. Pour $n=4$ : $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{7}{12}\approx 0,583$, à comparer à $\ln 2\approx 0,693$. L'écart vaut $0,110$, bien inférieur à la borne $\frac{1}{5}=0,2$.

Commentaire. La majoration en $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ s'effondre quand $x$ approche $1$ : à $x=\frac{1}{2}$, dix termes donnent déjà une erreur inférieure à $\frac{1}{11\cdot 2^{11}}<5\cdot 10^{-5}$. C'est le bord de l'intervalle qui coûte cher — et c'est là toute la différence avec l'exponentielle, dont le reste comporte un $(n+1)!$ au dénominateur et non un simple $n+1$.