Trois dérivées $n$-ièmes

Ce qu'on montre. Trois formules qu'on établit par récurrence, et dont on contrôle chacune sur les premiers rangs.

Première fonction. Chaque dérivation fait sortir un facteur $2$ : $$({\mathrm{e}}^{2x}{)}^{(n)}=2^n{\mathrm{e}}^{2x}.$$ Récurrence. Vrai pour $n=0$. Si c'est vrai au rang $n$, dériver $2^n{\mathrm{e}}^{2x}$ donne $2^n\times 2{\mathrm{e}}^{2x}=2^{n+1}{\mathrm{e}}^{2x}$. Contrôle : $n=1$ donne $2{\mathrm{e}}^{2x}$, conforme.

Deuxième fonction. Notons $u(x)=(1+x{)}^{-1}$. Alors $$u^{(n)}(x)=\frac{(-1{)}^{n}n!}{(1+x{)}^{n+1}}.$$ Récurrence. Vrai pour $n=0$. Si c'est vrai au rang $n$, dériver $(-1{)}^{n}n!(1+x{)}^{-(n+1)}$ donne $$(-1{)}^{n}n!\times (-(n+1))(1+x{)}^{-(n+2)}=\frac{(-1{)}^{n+1}(n+1)!}{(1+x{)}^{n+2}}.$$ Contrôle : $n=1$ donne $-\frac{1}{(1+x{)}^2}$, conforme.

Troisième fonction. Comme $(\ln (1+x){)}^{\prime }=\frac{1}{1+x}=u(x)$, on obtient pour $n\ge 1$, en dérivant $n-1$ fois de plus : $$(\ln (1+x){)}^{(n)}=u^{(n-1)}(x)=\frac{(-1{)}^{n-1}(n-1)!}{(1+x{)}^n}.$$ Contrôle : $n=1$ donne $\frac{1}{1+x}$ et $n=2$ donne $-\frac{1}{(1+x{)}^2}$, conformes.

Une conséquence utile. En $x=0$, ces formules donnent $(\ln (1+x){)}^{(k)}(0)=(-1{)}^{k-1}(k-1)!$, donc $\frac{f^{(k)}(0)}{k!}=\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}$ : on retrouve les coefficients du développement usuel de $\ln (1+x)$.