Trois développements limités

$${\mathrm{e}}^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3),$$

$$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3),$$

$$\sqrt{1+x}=(1+x{)}^{1/2}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}+o(x^3).$$

Le troisième s'obtient par la formule $(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}{x}^2+\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{6}{x}^3+o(x^3)$ avec $\alpha =\frac{1}{2}$ : $\frac{\frac{1}{2}\times (-\frac{1}{2})}{2}=-\frac{1}{8}$ et $\frac{\frac{1}{2}\times (-\frac{1}{2})\times (-\frac{3}{2})}{6}=\frac{1}{16}$.

Deux contrôles à faire systématiquement. Le terme constant est la valeur en $0$ ($1$, $0$, $1$) ; le terme de degré $1$ est la dérivée en $0$ ($1$, $1$, $\frac{1}{2}$). Un développement qui rate l'un des deux est faux dès la première ligne.