Un minimum que la dérivée seconde ne voit pas

Le point critique. $f^{\prime }(x)=4x^3$, donc $f^{\prime }(0)=0$ : $0$ est bien un point critique. Et $f^{\prime \prime }(x)=12x^2$, donc $f^{\prime \prime }(0)=0$ : le critère du second ordre ne conclut pas.

C'est pourtant un minimum global. $f(x)=x^4\ge 0=f(0)$ pour tout $x$, avec égalité seulement en $0$.

Ce que le cas enseigne. La condition « $f^{\prime }(a)=0$ et $f^{\prime \prime }(a)>0$ $\Rightarrow$ minimum » est suffisante, pas nécessaire. Quand $f^{\prime \prime }(a)=0$, elle ne dit rien — ni dans un sens ni dans l'autre : $x^4$ a un minimum, $-x^4$ un maximum, et $x^3$ ni l'un ni l'autre, tous trois avec $f^{\prime }(0)=f^{\prime \prime }(0)=0$.

Comment trancher alors. On pousse le développement jusqu'au premier terme non nul : $f(x)=f(a)+a_k(x-a{)}^k+o((x-a{)}^k)$ avec $a_k\ne 0$. Si $k$ est pair, il y a extremum — minimum si $a_k>0$, maximum sinon ; si $k$ est impair, la courbe traverse et il n'y a pas d'extremum. Ici $k=4$, pair, $a_4=1>0$ : minimum. Le signe et la parité suffisent.