Un minimum sur un intervalle ouvert

Ce qu'on montre. Que la convexité permet de conclure au minimum global dès qu'un point critique est trouvé, sans examiner les limites aux bornes.

Dérivées. $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $]0,+\infty [$, avec $$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2},f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{x^3}.$$

Le point critique. $f^{\prime }(x)=0⟺x^2=1⟺x=1$ (la solution $x=-1$ est hors de l'intervalle). Donc $x_0=1$ est l'unique point critique.

La convexité. Pour $x>0$, $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{x^3}>0$ : $f$ est convexe sur l'intervalle ouvert $]0,+\infty [$.

Conclusion. Le théorème du cours affirme qu'une fonction convexe sur un intervalle ouvert, dont la dérivée s'annule en $x_0$, admet en $x_0$ un minimum global. Ici $$f(1)=1+1=2,$$ et donc $f(x)\ge 2$ pour tout $x>0$.

Contrôle. $f(0,5)=0,5+2=2,5$ et $f(2)=2+0,5=2,5$ : les deux dépassent bien $2$. Et $f(x)\to +\infty$ aux deux bornes, ce qui est cohérent avec un minimum intérieur.

Remarque. L'inégalité $x+\frac{1}{x}\ge 2$ pour $x>0$ se retrouve directement : elle équivaut à $x^2-2x+1\ge 0$, c'est-à-dire $(x-1{)}^2\ge 0$. Les deux voies donnent le même résultat, et le cas d'égalité $x=1$.