Un point d'inflexion à trouver

Ce qu'on montre. Que le point d'inflexion se trouve en cherchant où $f^{\prime \prime }$ s'annule en changeant de signe — l'annulation seule ne suffirait pas.

Les dérivées. $f$ est polynomiale, donc de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $\mathbb{R}$ : $$f^{\prime }(x)=3x^2-6x+1,f^{\prime \prime }(x)=6x-6=6(x-1).$$

La convexité. Le signe de $f^{\prime \prime }$ est celui de $x-1$ :

• $f^{\prime \prime }<0$ sur $]-\infty ,1[$ : $f$ est concave sur $]-\infty ,1]$ ;
• $f^{\prime \prime }>0$ sur $]1,+\infty [$ : $f$ est convexe sur $[1,+\infty [$.

Le point d'inflexion. $f^{\prime \prime }$ s'annule en $x=1$ et change de signe en ce point : d'après la définition du cours, $x=1$ est un point d'inflexion. Son ordonnée vaut $$f(1)=1-3+1=-1.$$ Le point d'inflexion est donc $(1,-1)$.

La tangente en ce point. $f^{\prime }(1)=3-6+1=-2$, donc la tangente a pour équation $y=-1-2(x-1)=1-2x$. La courbe la traverse en $(1,-1)$, puisque la convexité y change.

Point délicat. Une dérivée seconde qui s'annule ne suffit pas : pour $g(x)=x^4$, on a $g^{\prime \prime }(0)=0$ mais $g^{\prime \prime }=12x^2\ge 0$ ne change pas de signe, et $0$ n'est pas un point d'inflexion. Le changement de signe fait partie de la définition.