Un point d'inflexion, et la traversée de la tangente

Ce qu'on montre. Que le signe de $f^{\prime \prime }$ décide de la convexité, qu'un changement de signe de $f^{\prime \prime }$ signale un point d'inflexion, et que la courbe y traverse sa tangente.

Les deux premières dérivées. $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $\mathbb{R}$ comme produit de telles fonctions. $$f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{-x}+x\times (-{\mathrm{e}}^{-x})=(1-x){\mathrm{e}}^{-x},$$ $$f^{\prime \prime }(x)=-{\mathrm{e}}^{-x}+(1-x)\times (-{\mathrm{e}}^{-x})=(x-2){\mathrm{e}}^{-x}.$$

La convexité. L'exponentielle étant strictement positive, le signe de $f^{\prime \prime }$ est celui de $x-2$ : $$f^{\prime \prime }<0\text{ sur }]-\infty ,2[,f^{\prime \prime }(2)=0,f^{\prime \prime }>0\text{ sur }]2,+\infty [.$$ D'après la caractérisation du cours (valable pour $f$ de classe ${\mathcal{C}}^2$), $f$ est concave sur $]-\infty ,2]$ et convexe sur $[2,+\infty [$.

Le point d'inflexion. $f^{\prime \prime }$ s'annule en $2$ en changeant de signe : $x_0=2$ est un point d'inflexion, d'ordonnée $$f(2)=2{\mathrm{e}}^{-2}\approx 0,271.$$

La tangente en ce point. $f^{\prime }(2)=(1-2){\mathrm{e}}^{-2}=-{\mathrm{e}}^{-2}$, donc la tangente a pour équation $$y=f(2)+f^{\prime }(2)(x-2)=2{\mathrm{e}}^{-2}-{\mathrm{e}}^{-2}(x-2)={\mathrm{e}}^{-2}(4-x).$$

La position. Posons $g(x)=f(x)-{\mathrm{e}}^{-2}(4-x)$, de sorte que la position se lit sur le signe de $g$. On a $g(2)=0$, $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+{\mathrm{e}}^{-2}$ donc $g^{\prime }(2)=0$, et $g^{\prime \prime }=f^{\prime \prime }$.

• Sur $]2,+\infty [$ : $g^{\prime \prime }>0$, donc $g^{\prime }$ est strictement croissante ; comme $g^{\prime }(2)=0$, on a $g^{\prime }>0$ sur $]2,+\infty [$, donc $g$ est strictement croissante, et de $g(2)=0$ on tire $g>0$. La courbe est au-dessus de sa tangente.
• Sur $]-\infty ,2[$ : $g^{\prime \prime }<0$, donc $g^{\prime }$ est strictement décroissante ; comme $g^{\prime }(2)=0$, on a $g^{\prime }>0$ avant $2$, donc $g$ est strictement croissante sur cet intervalle aussi, et de $g(2)=0$ on tire $g<0$. La courbe est en dessous.

Conclusion. La courbe passe d'un côté à l'autre de sa tangente en $x=2$ : elle la traverse, ce qui est exactement la définition d'un point d'inflexion donnée par le cours.

Contrôle numérique. En $x=3$ : $f(3)=3{\mathrm{e}}^{-3}\approx 0,1494$, la tangente vaut ${\mathrm{e}}^{-2}\times 1\approx 0,1353$ — la courbe est bien au-dessus. En $x=1$ : $f(1)={\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,3679$, la tangente vaut $3{\mathrm{e}}^{-2}\approx 0,4060$ — la courbe est bien en dessous.