Un produit de développements limités

On part des deux développements usuels à l'ordre $3$ :

$${\mathrm{e}}^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3),\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3).$$

On multiplie en ne gardant que les degrés $\le 3$. Le second facteur n'a pas de terme constant : chaque terme de ${\mathrm{e}}^x$ ne peut donc rencontrer que des termes de degré au plus $2$ de l'autre.

• degré $1$ : $1\times x$ ;
• degré $2$ : $1\times \left(-\frac{x^2}{2}\right)+x\times x=\frac{x^2}{2}$ ;
• degré $3$ : $1\times \frac{x^3}{3}+x\times \left(-\frac{x^2}{2}\right)+\frac{x^2}{2}\times x=\frac{x^3}{3}$.

$${\mathrm{e}}^x\ln (1+x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3).$$

La limite s'en déduit sans effort :

$$\frac{{\mathrm{e}}^x\ln (1+x)-x}{x^2}=\frac{\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)}{x^2}=\frac{1}{2}+\frac{x}{3}+o(x)\underset{x\to 0}{\to }\frac{1}{2}.$$

Le piège. Les coefficients $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}$ invitent à conjecturer ${\sum }_{n\ge 1}\frac{x^n}{n}$. C'est faux : le coefficient de degré $4$ vaut $-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=0$. Un motif lu sur trois termes n'est pas un résultat.

Le point à retenir. L'ordre du développement se lit sur le dénominateur : $x^2$ ici, donc l'ordre $2$ aurait suffi pour la limite. On a poussé d'un cran pour obtenir en prime la vitesse d'approche, $\frac{1}{2}+\frac{x}{3}$.