Un rang d'arrêt donné par Taylor-Lagrange

On applique Taylor-Lagrange à $f=\exp$, en $a=0$, au point $x=1$, à l'ordre $n$. Toutes les dérivées de $\exp$ valent $\exp$, croissante, donc $\left|f^{(n+1)}\right|\le M$ sur $[0,1]$ avec $M=\mathrm{e}$ :

$$\left|\mathrm{e}-\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\right|\le M\frac{1^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{\mathrm{e}}{(n+1)!}.$$

On majore $M$ par un nombre connu, sans quoi la condition ferait intervenir $\mathrm{e}$, c'est-à-dire l'inconnue elle-même : $\mathrm{e}\le 3$. La majoration devient $\frac{3}{(n+1)!}$.

La condition suffisante s'écrit alors

$$\frac{3}{(n+1)!}\le 10^{-6}⟺(n+1)!\ge 3\times 10^6.$$

Or $9!=362880<3\times 10^6$ et $10!=3628800\ge 3\times 10^6$. Le plus petit entier convenable est $n+1=10$, soit $n=9$.

Contrôle. ${\sum }_{k=0}^9\frac{1}{k!}=2,7182815$ et $\mathrm{e}=2,7182818$ : l'écart vaut $3,0\times 10^{-7}$, inférieur au majorant $\frac{3}{10!}\approx 8,3\times 10^{-7}$, lui-même sous $10^{-6}$. Les deux inégalités sont respectées, dans le bon ordre.

Le point à retenir. Un rang d'arrêt ne se choisit pas au juger, il se déduit d'une majoration du reste. Taylor-Young, qui dit seulement que le reste est négligeable, n'aurait fourni aucun entier ; Taylor-Lagrange, parce qu'elle donne un nombre, rend le calcul numérique certifiable.