Une asymptote oblique

La division euclidienne de $x^2+1$ par $x-1$ donne $x^2+1=(x-1)(x+1)+2$, donc

$$f(x)=x+1+\frac{2}{x-1}.$$

L'asymptote. Comme $\frac{2}{x-1}\to 0$ en $+\infty$, la droite d'équation $y=x+1$ est asymptote oblique à ${\mathcal{C}}_f$. (Elle l'est aussi en $-\infty$, pour la même raison.)

La position. L'écart vaut

$$f(x)-(x+1)=\frac{2}{x-1},$$

strictement positif pour $x>1$ et négatif pour $x<1$. La courbe est donc au-dessus de son asymptote en $+\infty$, et en dessous en $-\infty$ : elle la traverse — mais en $x=1$, où $f$ n'est pas définie. Il n'y a donc pas de point d'intersection.

Contrôle : $f(3)=\frac{10}{2}=5$ et $3+1=4$, écart $+1$, conforme à $\frac{2}{3-1}=1$.

La méthode générale : pour une fraction rationnelle dont le degré du numérateur dépasse celui du dénominateur d'exactement $1$, la division euclidienne donne l'asymptote et le signe du reste donne la position. Aucune limite à calculer.