Une asymptote par la quantité conjuguée

La fonction est définie sur $\mathbb{R}$ : le trinôme $x^2+x+1$ a pour discriminant $1-4=-3<0$, il est donc strictement positif.

Le point d'étude est $+\infty$, où l'on ne dispose d'aucun développement. On emploie la quantité conjuguée, qui change une différence de racines en quotient. Pour $x>0$, la somme $f(x)+x+\frac{1}{2}$ est strictement positive et

$$f(x)-\left(x+\frac{1}{2}\right)=\frac{\left(x^2+x+1\right)-{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2}{f(x)+x+\frac{1}{2}}.$$

Le numérateur se simplifie entièrement : ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2=x^2+x+\frac{1}{4}$, donc il vaut $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$. C'est une constante — les termes en $x^2$ et en $x$ se sont annulés, et c'est cette annulation qui sélectionne le bon coefficient $\frac{1}{2}$. Ainsi

$$f(x)-\left(x+\frac{1}{2}\right)=\frac{3/4}{\sqrt{x^2+x+1}+x+\frac{1}{2}}\underset{x\to +\infty }{\to }0,$$

le dénominateur tendant vers $+\infty$. La droite $y=x+\frac{1}{2}$ est donc asymptote en $+\infty$.

La position. L'écart est un quotient de deux quantités strictement positives pour $x>0$ : il est strictement positif. La courbe reste au-dessus de son asymptote, et ne la rencontre jamais.

Contrôle chiffré. En $x=10$ : $f(10)=\sqrt{111}=10,5357$ contre $10,5$, soit un écart de $0,0357$ — conforme à $\frac{0,75}{10,5357+10,5}=0,0357$.

Le point à retenir. L'asymptote se lit sur la différence $f(x)-(ax+b)$, jamais sur une allure. Pour une racine, la quantité conjuguée joue le rôle de la division euclidienne : elle exhibe l'écart au lieu de le deviner.