Une étude complète, inflexions comprises

Ce qu'on montre. L'enchaînement de la méthode du cours : domaine, parité, limites, $f^{\prime }$, $f^{\prime \prime }$, position par rapport à une tangente.

Domaine et parité. $1+x^2>0$ pour tout réel : $f$ est définie et de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $\mathbb{R}$. De plus $$f(-x)=\frac{-x}{1+x^2}=-f(x),$$ donc $f$ est impaire : la courbe est symétrique par rapport à l'origine, et l'étude sur $[0,+\infty [$ suffit.

Limites. $f(x)=\frac{x}{x^2\left(\frac{1}{x^2}+1\right)}=\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}\to 0$ quand $x\to +\infty$, et par imparité $f(x)\to 0$ en $-\infty$. L'axe des abscisses est asymptote horizontale aux deux bouts.

Variations. En dérivant le quotient : $$f^{\prime }(x)=\frac{(1+x^2)-x\times 2x}{(1+x^2{)}^2}=\frac{1-x^2}{(1+x^2{)}^2}.$$ Le dénominateur est strictement positif, donc $f^{\prime }$ a le signe de $1-x^2$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty ,-1]$, croissante sur $[-1,1]$, décroissante sur $[1,+\infty [$. Elle admet un minimum $f(-1)=-\frac{1}{2}$ et un maximum $f(1)=\frac{1}{2}$.

Convexité. Dérivons $f^{\prime }$ : $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{-2x(1+x^2{)}^2-(1-x^2)\times 2(1+x^2)\times 2x}{(1+x^2{)}^4}=\frac{-2x(1+x^2)-4x(1-x^2)}{(1+x^2{)}^3}=\frac{2x(x^2-3)}{(1+x^2{)}^3}.$$ Le signe est celui de $2x(x^2-3)$, produit qui change de signe en $-\sqrt{3}$, $0$ et $\sqrt{3}$ :

• sur $]-\infty ,-\sqrt{3}[$ : $2x<0$ et $x^2-3>0$, donc $f^{\prime \prime }<0$ ;
• sur $]-\sqrt{3},0[$ : $2x<0$ et $x^2-3<0$, donc $f^{\prime \prime }>0$ ;
• sur $]0,\sqrt{3}[$ : $2x>0$ et $x^2-3<0$, donc $f^{\prime \prime }<0$ ;
• sur $]\sqrt{3},+\infty [$ : $2x>0$ et $x^2-3>0$, donc $f^{\prime \prime }>0$.

$f$ est donc concave, puis convexe, puis concave, puis convexe. Les trois valeurs $-\sqrt{3}$, $0$, $\sqrt{3}$ annulent $f^{\prime \prime }$ en changeant de signe : ce sont trois points d'inflexion, d'ordonnées respectives $-\frac{\sqrt{3}}{4}$, $0$ et $\frac{\sqrt{3}}{4}$ (car $f(\sqrt{3})=\frac{\sqrt{3}}{4}$).

La tangente en $0$. $f(0)=0$ et $f^{\prime }(0)=1$, donc la tangente est la droite $y=x$. La position se lit sur la différence : $$f(x)-x=\frac{x}{1+x^2}-x=\frac{x-x(1+x^2)}{1+x^2}=\frac{-x^3}{1+x^2}.$$ Le dénominateur étant positif, le signe est celui de $-x^3$ : négatif pour $x>0$, positif pour $x<0$. La courbe est en dessous de sa tangente à droite de $0$, au-dessus à gauche : elle la traverse, ce qui confirme que $0$ est un point d'inflexion.

Contrôle. Le théorème d'allure locale prévoit exactement cela : le premier terme non linéaire du développement de $f$ en $0$ est $-x^3$, d'exposant impair.