Une fonction convexe : un point critique, et c'est le minimum

Ce qu'on montre. Que la convexité dispense de comparer des candidats : un seul point critique, et c'est le minimum global. C'est le théorème du cours « convexité et minimum global », dont l'hypothèse d'intervalle ouvert est ici satisfaite.

Convexité. $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $]0,+\infty [$, avec $$f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x-\frac{1}{x^2},f^{\prime \prime }(x)={\mathrm{e}}^x+\frac{2}{x^3}.$$ Pour $x>0$, les deux termes sont strictement positifs, donc $f^{\prime \prime }>0$ : d'après la caractérisation du cours, $f$ est convexe (et même strictement) sur $]0,+\infty [$.

Unicité du point critique. Puisque $f^{\prime \prime }>0$, la fonction $f^{\prime }$ est strictement croissante sur $]0,+\infty [$ ; elle s'annule donc au plus une fois. Pour montrer qu'elle s'annule bien :

• quand $x\to 0^{+}$, ${\mathrm{e}}^x\to 1$ et $\frac{1}{x^2}\to +\infty$, donc $f^{\prime }(x)\to -\infty$ ;
• $f^{\prime }(1)=\mathrm{e}-1\approx 1,718>0$.

$f^{\prime }$ est continue et strictement croissante sur $]0,1]$, avec des valeurs de signes opposés aux extrémités : le théorème des valeurs intermédiaires donne l'existence d'un unique $x_0\in ]0,1[$ tel que $f^{\prime }(x_0)=0$. La stricte croissance sur tout $]0,+\infty [$ garantit qu'il n'y en a pas d'autre au-delà de $1$.

Le minimum est global. $f$ est convexe sur l'intervalle ouvert $]0,+\infty [$ et $f^{\prime }(x_0)=0$ : le théorème du cours affirme que $f$ admet en $x_0$ un minimum global. Aucune comparaison avec d'autres points n'est nécessaire — et c'est bien là tout l'apport de la convexité.

Valeur approchée. Cherchons le signe de $f^{\prime }$ autour de $0,7$ : $$f^{\prime }(0,70)={\mathrm{e}}^{0,70}-\frac{1}{0,49}\approx 2,0138-2,0408=-0,027<0,$$ $$f^{\prime }(0,71)={\mathrm{e}}^{0,71}-\frac{1}{0,5041}\approx 2,0340-1,9837=+0,050>0.$$ Par stricte croissance de $f^{\prime }$, on a donc $x_0\in ]0,70;0,71[$, soit $x_0\approx 0,70$. La valeur du minimum est alors $f(x_0)\approx 2,014+1,427\approx 3,44$.

Point délicat. Sans la convexité, $f^{\prime }(x_0)=0$ ne dirait rien de plus que « point critique » : il faudrait examiner le signe de $f^{\prime }$ de part et d'autre, puis comparer aux limites aux bornes pour trancher entre minimum local et global. La convexité court-circuite les deux étapes.