Une fonction paire n'a que des puissances paires

Ce qu'on montre. Que l'unicité du développement limité transforme une symétrie de la fonction en une annulation de coefficients — et qu'on peut ensuite s'en servir comme d'un contrôle.

La démonstration. Écrivons le développement de $f$ en $x$, puis en $-x$ : $$f(x)=\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k+o(x^n),f(-x)=\sum _{k=0}^n{a}_k(-x{)}^k+o(x^n)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{a}_k{x}^k+o(x^n),$$ le reste restant un $o(x^n)$ puisque $|-x{|}^n=|x{|}^n$.

Comme $f$ est paire, $f(-x)=f(x)$ : les deux écritures sont deux développements limités à l'ordre $n$ de la même fonction. Le théorème d'unicité du cours impose l'égalité des coefficients : $$\forall k\in [[0,n]],a_k=(-1{)}^k{a}_k.$$ Pour $k$ impair, cela s'écrit $a_k=-a_k$, donc $2a_k=0$, donc $a_k=0$. Pour $k$ pair l'égalité est automatique et ne dit rien.

Application : le développement de $\sin x\cos x$. Les développements usuels donnent $$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^6),\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^5).$$ La proposition du cours autorise le produit, en ne gardant que les termes de degré $\le 5$ :

• degré $1$ : $x\times 1=x$ ;
• degré $3$ : $x\times \left(-\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{1}{6}\right)\times 1=-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=-\frac{2}{3}$ ;
• degré $5$ : $x\times \frac{1}{24}$ donne $\frac{1}{24}$, $\left(-\frac{1}{6}\right)\times \left(-\frac{1}{2}\right)$ donne $\frac{1}{12}$, $\frac{1}{120}\times 1$ donne $\frac{1}{120}$, soit $\frac{5+10+1}{120}=\frac{16}{120}=\frac{2}{15}$ ;
• les degrés $0$, $2$ et $4$ ne reçoivent aucune contribution.

$$\sin x\cos x=x-\frac{2}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5+o(x^5).$$

La vérification. La fonction $x\mapsto \sin x\cos x$ est impaire, et le résultat obtenu ne comporte en effet que des puissances impaires — c'est le résultat démontré plus haut, transposé au cas impair (où ce sont les coefficients pairs qui s'annulent, par le même argument avec $f(-x)=-f(x)$).

Second contrôle, indépendant : $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin (2x)$, donc $$\frac{1}{2}\left(2x-\frac{(2x{)}^3}{6}+\frac{(2x{)}^5}{120}\right)+o(x^5)=x-\frac{8x^3}{12}+\frac{32x^5}{240}=x-\frac{2}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5,$$ identique au calcul par le produit. Les deux chemins concordent.

Point délicat. L'argument repose entièrement sur l'unicité du développement : sans elle, deux écritures différentes de la même fonction n'imposeraient aucune relation entre les coefficients.