mathématiques approfondies (ECG 1re année) · Chapitre 9 · Exercice d'entraînement

Une fonction paire n'a que des puissances paires

Taylor, développements limités et convexité · Développements limités · ★★★ niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $f$ de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ au voisinage de $0$, paire, de développement limité $f(x)={\sum }_{k=0}^n{a}_k{x}^k+o(x^n)$. Montrer que $a_k=0$ pour tout $k$ impair. Donner ensuite le développement limité à l'ordre $5$ en $0$ de $x\mapsto \sin x\cos x$, et vérifier le résultat autrement.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.