Une limite par développement limité

La forme est indéterminée ($\frac{0}{0}$). On remplace $\ln (1+x)$ par son développement à l'ordre $2$ — l'ordre est dicté par le dénominateur :

$$\frac{\ln (1+x)-x}{x^2}=\frac{\left(x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)-x}{x^2}=\frac{-\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{x^2}=-\frac{1}{2}+o(1)\underset{x\to 0}{\to }-\frac{1}{2}.$$

Le choix de l'ordre. À l'ordre $1$, $\ln (1+x)=x+o(x)$, et le numérateur devient $o(x)$ : divisé par $x^2$, cela ne conclut pas. Il faut pousser jusqu'à ce que le premier terme non nul apparaisse — ici l'ordre $2$, et pas plus.

Le signe confirme l'inégalité $\ln (1+x)\le x$ : la différence est négative, du second ordre.