Une limite par un produit de développements

Ce qu'on montre. Que l'ordre du développement se choisit avant de calculer : il doit être celui du dénominateur, sinon les termes utiles disparaissent dans le reste.

Le choix de l'ordre. Le dénominateur est $x^3$. Il faut donc connaître le numérateur à l'ordre $3$ au moins : tout terme de degré $\le 3$ compte, les suivants sont absorbés dans le $o(x^3)$.

Les développements usuels. Le cours donne, en $0$, $$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4),\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^3).$$

Le produit $x\cos x$. Multiplier un développement par $x$ décale tout d'un cran : $$x\cos x=x-\frac{x^3}{2}+o(x^4).$$

La différence. On soustrait terme à terme, ce que la proposition du cours autorise : $$\sin x-x\cos x=\left(x-\frac{x^3}{6}\right)-\left(x-\frac{x^3}{2}\right)+o(x^4)=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right)x^3+o(x^4)=\frac{x^3}{3}+o(x^4).$$ Les termes en $x$ se sont détruits : c'est précisément pour cela qu'il fallait développer jusqu'à $x^3$.

La limite. En divisant par $x^3$, pour $x\ne 0$ : $$\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}=\frac{1}{3}+\frac{o(x^4)}{x^3}=\frac{1}{3}+o(x)\underset{x\to 0}{\to }\frac{1}{3}.$$

Contrôle numérique. Pour $x=0,1$ : $\sin (0,1)=0,0998334$, $0,1\cos (0,1)=0,0995004$, différence $3,330\cdot 10^{-4}$, divisée par $10^{-3}$ : $0,3330$, proche de $\frac{1}{3}$.

Point délicat. Si l'on avait développé $\cos$ seulement à l'ordre $1$ ($\cos x=1+o(x)$), on aurait obtenu $\sin x-x\cos x=-\frac{x^3}{6}+o(x^2)$, expression incohérente dont on ne peut rien tirer : le reste serait plus gros que le terme conservé. L'ordre se fixe d'abord, on développe ensuite.