Une majoration par Taylor-Lagrange

Ce qu'on montre. Que la majoration s'améliore fortement d'un ordre au suivant, parce que le dénominateur factoriel croît vite.

Le cadre. Posons $f=\sin$, de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $\mathbb{R}$, avec $f(0)=0$ et $f^{\prime }(0)=1$. Son polynôme de Taylor à l'ordre $1$ en $0$ est donc $x$, et à l'ordre $2$ également, puisque $f^{\prime \prime }(0)=-\sin 0=0$. L'inégalité de Taylor-Lagrange s'écrit, pour $x=0,2$ : $$\left|f(x)-\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}{x}^k\right|\le M\frac{x^{n+1}}{(n+1)!},$$ où $M$ majore $\left|f^{(n+1)}\right|$ sur $[0;0,2]$.

À l'ordre $1$. Ici $f^{\prime \prime }=-\sin$, donc $|f^{\prime \prime }|\le 1$ sur $\mathbb{R}$ : on prend $M=1$ et $$|\sin (0,2)-0,2|\le \frac{(0,2{)}^2}{2!}=\frac{0,04}{2}=0,02.$$

À l'ordre $2$. Ici $f^{\prime \prime \prime }=-\cos$, donc $|f^{\prime \prime \prime }|\le 1$ : on prend encore $M=1$, et le polynôme de Taylor est toujours $x$ (le terme d'ordre $2$ étant nul) : $$|\sin (0,2)-0,2|\le \frac{(0,2{)}^3}{3!}=\frac{0,008}{6}\approx 1,333\cdot 10^{-3}.$$

La comparaison. La valeur exacte est $\sin (0,2)\approx 0,198669$, donc $$|\sin (0,2)-0,2|\approx 1,331\cdot 10^{-3}.$$ La borne d'ordre $1$ ($0,02$) est correcte mais quinze fois trop grande ; celle d'ordre $2$ ($1,333\cdot 10^{-3}$) est presque atteinte — l'écart relatif est de deux pour mille.

Ce qu'il faut retenir. Passer de l'ordre $1$ à l'ordre $2$ n'a rien changé au polynôme (il vaut $x$ dans les deux cas), mais tout changé à la majoration : le reste gagne un facteur $x$ et un facteur $3$ au dénominateur. Choisir l'ordre le plus élevé possible est donc gratuit et payant.