Voir un développement limité s'écarter

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import factorial

def dl_exp(x, n):
    # somme partielle 1 + x + x^2/2 + ... + x^n/n!
    return sum(x**k / factorial(k) for k in range(n + 1))

x = np.linspace(-1, 1, 400)
for n in range(1, 6):
    plt.plot(x, np.abs(np.exp(x) - dl_exp(x, n)), label="ordre " + str(n))
plt.yscale("log")            # les ecarts couvrent plusieurs decades
plt.xlabel("x"); plt.legend(); plt.show()

Ce qu'on voit. Chaque courbe a la forme d'un « V » très creusé, minimal en $0$ où l'écart est nul, et maximal aux deux bords $x=\pm 1$. Les écarts en $x=1$ valent successivement

$$0,718,0,218,0,0516,0,00995,0,00162,$$

soit une division par environ $5$ à chaque ordre gagné.

L'explication. Taylor-Lagrange majore l'erreur par $M\frac{|x{|}^{n+1}}{(n+1)!}$ : elle croît comme $|x{|}^{n+1}$. Près de $0$ le facteur $|x{|}^{n+1}$ écrase tout ; loin de $0$, il ne joue plus en faveur et seul $\frac{1}{(n+1)!}$ sauve la précision.

La leçon. Un développement limité est un outil local. Il n'affirme rien à distance finie du point où on l'écrit, et prétendre s'en servir sur tout un intervalle est une faute — sauf à majorer explicitement le reste, ce que Taylor-Lagrange permet et Taylor-Young non.