Concaténation et liberté

Le critère de la concaténation. La somme est directe si et seulement si la famille obtenue en mettant bout à bout une base de $F$ et une base de $G$ est libre. On range les quatre vecteurs en lignes :

$$M=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right)\stackrel{L_3\leftarrow L_3-L_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right)\stackrel{L_3\leftarrow L_3-L_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& -1& -1\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right).$$

Enfin $L_4\leftarrow L_4+L_3$ annule la dernière ligne. Il reste trois lignes non nulles : le rang vaut $3$, la famille des quatre vecteurs est liée. La somme n'est pas directe.

La relation, en clair. On lit dans les opérations

$$(1,0,1,0)+(0,1,0,1)=(1,1,0,0)+(0,0,1,1),$$

et l'on vérifie coordonnée par coordonnée : les deux membres valent $(1,1,1,1)$. Ce vecteur admet donc deux décompositions, une avec un élément de $F$ et un de $G$ — c'est exactement l'échec de l'unicité.

Dimension de l'intersection. $\dim (F+G)=3$ tandis que $\dim F+\dim G=4$ : l'intersection est de dimension $1$, engendrée par $(1,1,1,1)$.