Deux bases de ${\mathbb{R}}_2[x]$ et la dérivation

La matrice de passage. On développe : $1$, $1+x$, et $(1+x{)}^2=1+2x+x^2$. Les colonnes sont ces coordonnées dans $\mathcal{B}$ : $$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

Son inverse. On résout $PX=Y$ en remontant : $x_3=y_3$, puis $x_2+2x_3=y_2$ donne $x_2=y_2-2y_3$, puis $x_1+x_2+x_3=y_1$ donne $x_1=y_1-y_2+y_3$. Donc $$P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$$ et ${\mathcal{B}}^{\prime }$ est bien une base ($P$ est inversible).

La matrice de $d$ dans ${\mathcal{B}}^{\prime }$, par le calcul direct. On dérive chaque vecteur de ${\mathcal{B}}^{\prime }$ et on lit le résultat dans ${\mathcal{B}}^{\prime }$ : $$d(1)=0,d(1+x)=1,d((1+x{)}^2)=2(1+x).$$ Or $1$ est le premier vecteur de ${\mathcal{B}}^{\prime }$ et $1+x$ le deuxième. Les colonnes sont donc $(0,0,0)$, $(1,0,0)$ et $(0,2,0)$ : $${\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}(d)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$

Le point remarquable. Dans $\mathcal{B}$, on trouve $d(1)=0$, $d(x)=1$, $d(x^2)=2x$, donc ${\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(d)$ est la même matrice. Les deux ne sont pas seulement semblables : elles sont égales, parce que ${\mathcal{B}}^{\prime }$ se déduit de $\mathcal{B}$ par la translation $x\mapsto x+1$, qui commute avec la dérivation. La formule ${\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}(d)=P^{-1}{\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(d)P$ le confirme, mais le calcul direct est ici plus court.