Deux droites de ${\mathbb{R}}^3$

L'intersection. Un vecteur de $F$ s'écrit $\lambda (1,2,0)$, un vecteur de $G$ s'écrit $\mu (0,1,1)$. Chercher $F\cap G$, c'est résoudre $$\lambda (1,2,0)=\mu (0,1,1),$$ soit, coordonnée par coordonnée : $\lambda =0$, $2\lambda =\mu$, $0=\mu$. La première équation donne $\lambda =0$, la troisième $\mu =0$. Le seul vecteur commun est donc le vecteur nul : $$F\cap G=\{(0,0,0)\}.$$

La somme est directe. D'après la caractérisation du cours, la somme de deux sous-espaces est directe si et seulement si leur intersection est réduite au vecteur nul. C'est le cas ici : la somme est directe, et on écrit $F\oplus G$.

La dimension. $(1,2,0)$ et $(0,1,1)$ sont non nuls, donc $\dim F=\dim G=1$. La dimension d'une somme directe est la somme des dimensions : $$\dim (F\oplus G)=1+1=2.$$

Contrôle. $F\oplus G$ est un plan de ${\mathbb{R}}^3$, donc $F\oplus G\ne {\mathbb{R}}^3$ : la somme est directe sans être ${\mathbb{R}}^3$ tout entier. Les deux notions sont indépendantes — « directe » parle d'unicité de l'écriture, pas de recouvrement.