Deux matrices semblables, et leur trace

L'inverse de $P$. On résout $PX=Y$ : $x_1+x_2=y_1$ et $x_2=y_2$, d'où $x_2=y_2$ puis $x_1=y_1-y_2$. Donc $$P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right),$$ que l'on contrôle : $P^{-1}P=\left(\begin{array}{cc}1& 1-1\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2$.

Le calcul de $B$. On procède en deux temps. D'abord $$AP=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 0& 3\end{array}\right),$$ puis $$B=P^{-1}(AP)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 2-3\\ 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& 3\end{array}\right).$$

Les deux traces. $$\mathrm{Tr}(A)=2+3=5,\mathrm{Tr}(B)=2+3=5.$$ Elles sont égales, conformément au théorème du cours : deux matrices semblables ont la même trace, car $\mathrm{Tr}(P^{-1}AP)=\mathrm{Tr}((AP)P^{-1})=\mathrm{Tr}(A)$.

Ce qu'il faut en retenir. $A$ et $B$ ne sont pas égales — le coefficient hors diagonale a changé — mais elles représentent le même endomorphisme dans deux bases. Tout ce qui ne dépend pas de la base leur est commun : ici, la trace.