Deux plans de l'espace

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 1 — Compléments d'algèbre linéaire · Sommes directes

Énoncé

Dans $R^{3}$ , soient $F = {(x, y, z) ∣ z = 0}$ et $G = {(x, y, z) ∣ x = 0}$ . Déterminer $F \cap G$ , puis dire si la somme est directe.

Corrigé

Un vecteur de $F \cap G$ vérifie $z = 0$ et $x = 0$ : il est de la forme $(0, y, 0)$ . Donc $F \cap G = Vect ((0, 1, 0))$ , une droite, de dimension $1$ .

L'intersection n'est pas réduite à ${0}$ : la somme n'est pas directe. Elle vaut tout de même $R^{3}$ , mais les décompositions ne sont pas uniques : par exemple

$(1, 1, 1) = (1, 1, 0) + (0, 0, 1) = (1, 0, 0) + (0, 1, 1),$

deux écritures avec un vecteur de $F$ puis un vecteur de $G$ .

Le contrôle des dimensions. $dim F + dim G = 2 + 2 = 4 > 3$ : la somme ne pouvait pas être directe, quel que soit le détail des équations.

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