Deux plans de l'espace

Un vecteur de $F\cap G$ vérifie $z=0$ et $x=0$ : il est de la forme $(0,y,0)$. Donc $F\cap G=\mathrm{Vect}((0,1,0))$, une droite, de dimension $1$.

L'intersection n'est pas réduite à $\{0\}$ : la somme n'est pas directe. Elle vaut tout de même ${\mathbb{R}}^3$, mais les décompositions ne sont pas uniques : par exemple

$$(1,1,1)=(1,1,0)+(0,0,1)=(1,0,0)+(0,1,1),$$

deux écritures avec un vecteur de $F$ puis un vecteur de $G$.

Le contrôle des dimensions. $\dim F+\dim G=2+2=4>3$ : la somme ne pouvait pas être directe, quel que soit le détail des équations.