Deux sous-espaces de polynômes

Description de $F$. $P(0)=0$ annule le coefficient constant, $P^{\prime }(0)=0$ annule le coefficient de $x$. Donc $F=\{a{x}^2+b{x}^3\mid (a,b)\in {\mathbb{R}}^2\}=\mathrm{Vect}(x^2,x^3)$, de dimension $2$.

Intersection. Un élément de $G$ s'écrit $\alpha +\beta x$. S'il est dans $F$, alors $\alpha =\beta =0$. Donc $F\cap G=\{0\}$ : la somme est directe.

Dimension. $\dim F+\dim G=2+2=4=\dim {\mathbb{R}}_3[x]$. Par le théorème de la somme directe, $F\oplus G$ est un sous-espace de ${\mathbb{R}}_3[x]$ de dimension $4$, donc $F\oplus G={\mathbb{R}}_3[x]$.

Lecture directe. La base adaptée est $(x^2,x^3,1,x)$ : c'est la base canonique, réordonnée. Un polynôme $a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3$ se décompose en $(a_2{x}^2+a_3{x}^3)+(a_0+a_{1}x)$, d'une seule façon.