Deux sous-espaces de polynômes

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 1 — Compléments d'algèbre linéaire · Sommes directes

Énoncé

Dans $R_{3} [x]$ , soient $F = {P ∣ P (0) = P^{'} (0) = 0}$ et $G = R_{1} [x]$ (les polynômes de degré au plus $1$ ). Montrer que $F \oplus G = R_{3} [x]$ .

Corrigé

Description de $F$ . $P (0) = 0$ annule le coefficient constant, $P^{'} (0) = 0$ annule le coefficient de $x$ . Donc $F = {a x^{2} + b x^{3} ∣ (a, b) \in R^{2}} = Vect (x^{2}, x^{3})$ , de dimension $2$ .

Intersection. Un élément de $G$ s'écrit $α + β x$ . S'il est dans $F$ , alors $α = β = 0$ . Donc $F \cap G = {0}$ : la somme est directe.

Dimension. $dim F + dim G = 2 + 2 = 4 = dim R_{3} [x]$ . Par le théorème de la somme directe, $F \oplus G$ est un sous-espace de $R_{3} [x]$ de dimension $4$ , donc $F \oplus G = R_{3} [x]$ .

Lecture directe. La base adaptée est $(x^{2}, x^{3}, 1, x)$ : c'est la base canonique, réordonnée. Un polynôme $a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3}$ se décompose en $(a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3}) + (a_{0} + a_{1} x)$ , d'une seule façon.

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