Deux traces pour trois valeurs propres

Ce que donne la diagonalisation. $A$ étant diagonalisable, il existe $P$ inversible et $D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$ avec $A=PD{P}^{-1}$. Alors $A^2=PD{P}^{-1}PD{P}^{-1}=P{D}^2{P}^{-1}$ : $A^2$ est semblable à $D^2=\mathrm{diag}({\lambda }_1^2,{\lambda }_2^2,{\lambda }_3^2)$.

Deux équations. La trace étant invariante par similitude, $${\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3=\mathrm{Tr}(D)=\mathrm{Tr}(A)=6,{\lambda }_1^2+{\lambda }_2^2+{\lambda }_3^2=\mathrm{Tr}(D^2)=\mathrm{Tr}(A^2)=14.$$ Avec ${\lambda }_1=1$ : ${\lambda }_2+{\lambda }_3=5$ et ${\lambda }_2^2+{\lambda }_3^2=13$.

Le produit s'en déduit. L'identité $({\lambda }_2+{\lambda }_3{)}^2={\lambda }_2^2+{\lambda }_3^2+2{\lambda }_2{\lambda }_3$ donne $25=13+2{\lambda }_2{\lambda }_3$, donc ${\lambda }_2{\lambda }_3=6$.

Conclusion. ${\lambda }_2$ et ${\lambda }_3$ ont pour somme $5$ et pour produit $6$ : ce sont les racines de $X^2-5X+6=(X-2)(X-3)$, c'est-à-dire $2$ et $3$.

Contrôle. $1+2+3=6$ et $1+4+9=14$ : les deux données sont retrouvées.

Le point à retenir. Chaque puissance apporte une équation gratuite : $\mathrm{Tr}(A^k)$ est la somme des ${\lambda }_i^k$. Deux équations suffisent ici parce qu'une valeur propre était donnée — sans elle, il en aurait fallu une troisième.